Analisis Funcional - Espacios Normados 1

Ejemplos

Sea $V=\R^d$ y sea $v=(v_1,...,v_d)$

• $\norm{v}_{\infty}=\max_{v=1...d} \abs{v_i}$
• $\norm{v}_1=\sum_{v=1}^{d} \abs{v_i}$
• $\norm{v}_p=(\sum_{v=1}^{d} v_i^p)^{1/p}$
• La norma definida por $\|v\|_B = \inf\{\alpha > 0 \mid \frac{1}{\alpha}v \in B\}$, donde $B$ es un subconjunto no vacío, abierto, centralmente simétrico (es decir, $B = -B$), convexo, acotado (con respecto a la norma euclidiana) de $\mathbb{R}^d$.

Consideremos el espacio vectorial de polinomios reales

$R[x]=f = \sum_{k=0}^{N} c_kx^k$, donde $N \in \mathbb{N}$ y $c_k \in \mathbb{R}$

Podemos definir cualquiera de las siguientes normas (pensando en $f \in R[x]$ realmente como el vector finito pero infinitamente soportado $(c_0, c_1, ..., c_n, c_{n+1}, ... ) \in \R^{\mathbb{N}_0}$ con $c_k = 0$ para $k > N$):

• $\|f\|_1 = \sum_{k=0}^{\infty} |c_k|$

• $\|f\|_2 = \sqrt{\sum_{k=0}^{\infty} |c_k|^2}$

• $\|f\|_{\infty} = \max_{k \geq 0} |c_k|$

También podríamos pensar en los polinomios como funciones continuas en el intervalo [0,1], incorporando así $R[x] \subseteq C^1([0,1]) \subseteq C([0,1])$, de manera que la norma $\|\cdot\|_{\infty}$ de $C([0,1])$ también puede ser utilizada.

Demostración. Para cualquier $v, w \in V$, tenemos $\|v\| = \|v - w + w\| \leq \|v - w\| + \|w\|$ y de manera similar, $\|w\| = \|w - v + v\| \leq \|v - w\| + \|v\|$, por la Definición 2.1 (la desigualdad triangular y la homogeneidad). Ambas desigualdades juntas dan como resultado (2.1).

Para demostrar que $d$ es una métrica, debemos verificar las siguientes propiedades definitorias de una métrica:

• (positividad estricta) que $d(v,w) > 0$ para todo $v, w \in V$ y $d(v,w) = 0$ si y solo si $v = w$, es claro por positividad estricta en la Definición 2.1.
• (simetría) $d(v,w) = d(w,v)$ para todo $v, w \in V$ sigue aplicando la homogeneidad en la Definición 2.1 con la elección $\alpha = -1$.
• (desigualdad triangular) Finalmente, tenemos $d(u,w) = \|u - w\| = \|u - v + v - w\| \leq \|u - v\| + \|v - w\| = d(u,v) + d(v,w)$.

La norma es continua en $v \in V$ si para cada $\varepsilon > 0$ existe algún $\delta > 0$ tal que $d(u,v) < \delta$ implica $\|u\| - \|v\| < \varepsilon$. Por (2.1), podemos elegir $\delta = \varepsilon$ para ver esto.

Bibliografía

• Einsiedler, M., & Ward, T. (2017). Functional Analysis, Spectral Theory, and Applications. Springer.