Conjuntos de Julia

El conjunto de Julia es un fractal formado en los números complejos. Rigurosamente se define de la siguiente manera:

Definimos $f^k:=,\overbrace{f \circ f \circ ... \circ f}^{k}$, es decir $f^2(x) = f(f(x))$, $f^3(x)=f(f(f(x)))$ ...

Sea $f : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ un polinomio, llamamos el Conjunto de Julia Relleno asociado a $f$ como:

llamamos Conjunto de Julia a

Es decir, El conjunto de julia relleno son aquellos puntos $x$ tal que si iteramos $f^k(x)$ no divergen.

Por ejemplo podemos ver en la siguiente figura haciendo click donde queramos cuales serían las 50 primeras iteraciónes del conjunto de julia para $f(x)=x^2-1$

Propiedades para funciones polinómicas de grado $d>0$

Este concepto se puede generalizar a funciones $f(z)$ holomorfas cualesquiera, pero en este post nos vamos a restringir a los polinomios de grado d > 1 para el aspecto teórico y para los dibujos usaremos las función $f(z)=z^2+c$ con $c \in \mathbb{C}$

Proposición: $J(f)$ es perfecto, es decir, no tiene puntos aislados Proposición: $J(f)$ es no numerable

Si $f_c(x):=x^2+c$

Proposición: o $J(f_c)$ es conexo o totalmente disconexo

Resultados interesantes

$f(z)=z^2-1$

Podemos observar que tiene dos puntos fijos resolviendo la ecuación $f(z)=z$ y que además el 0 y 1 son dos números periódicos de periodo 2 pues $f(0)=1$ y $f(1)=0$. Además podemos observar que son dos puntos atractores

$f(z)=z^2+\frac{1}{4} +\epsilon$

Como dibujarlos

Para dibujarlo tan solo vamos a ir iterando pixel a pixel, calculando su correspondiente coordenada en los números complejos, y viendo si se va a infinito. Hay un Lema que nos garantiza que si $|z|>\max\{|c|,3\}$ entonces $f^k(z) \rightarrow \infty$. Por lo que dependiendo a que iteración supere esta condición dibujaremos ese pixel de un color u otro

Juega: