Ecuaciones diferenciales II

En matemáticas, una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas. Las ecuaciones diferenciales se utilizan para modelar una amplia variedad de fenómenos en física, química, biología, ingeniería, economía y otras disciplinas.

Una forma común de escribir una ecuación diferencial es la siguiente:

donde y es la función desconocida, y' es su derivada y f es una función conocida que especifica cómo cambia la función en función de sus variables x e y. Esta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden porque solo involucra la primera derivada de y.

En algunos casos, $f$ puede ser una función explícita de x e y, es decir, $f(x, y) = g(x)h(y)$, donde $g$ y $h$ son funciones conocidas de sus respectivas variables. Sin embargo, en otros casos, $f$ puede depender implícitamente de y a través de una función vectorial $f(x, y) = (a(x, y), b(x, y))$, donde a y b son componentes de la función vectorial.

En este caso, la ecuación diferencial toma la forma:

que es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden lineal. Esta ecuación puede reescribirse en términos de $y'(x)$ como:

Esta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden no lineal, pero se puede resolver utilizando métodos numéricos como el método de Runge-Kutta o el método de Dormand-Prince. En ambos métodos, se aproximará la solución de la ecuación diferencial mediante la integración numérica, que consiste en avanzar en pequeños pasos de tiempo y utilizando aproximaciones de la derivada para calcular la solución en cada paso. Estos métodos permiten aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales de manera eficiente, lo que los hace muy útiles en diversas aplicaciones científicas y tecnológicas.

Ejemplos