El problema 16 de Hilbert sobre órbitas límite en ecuaciones diferenciales polinómicas

El problema 16 de Hilbert, planteado en 1900, pregunta si para cualquier ecuación diferencial polinómica en el plano de la forma:

\begin{aligned} \frac{dx}{dt} &= P(x,y)\\ \frac{dy}{dt} &= Q(x,y) \end{aligned}

donde $P$ y $Q$ son polinomios, el conjunto límite de cualquier órbita está formado necesariamente por puntos singulares, ciclos límite u órbitas que conectan puntos singulares[1][4].

Algunos conceptos clave:

Un punto singular es donde $P(x,y)=Q(x,y)=0$ .
Un ciclo límite es una órbita cerrada aislada.
Si $\phi_t(x_0,y_0)$ es la solución con condición inicial $(x_0,y_0)$ , el conjunto omega-límite es:

\omega(x_0,y_0)=\bigcap_{t\geq0}\overline{\{\phi_s(x_0,y_0):s\geq t\}}

Análogamente se define el conjunto alfa-límite $\alpha(x_0,y_0)$ cuando $t\to-\infty$ [8].

Algunos resultados relevantes:

Teorema de Poincaré-Bendixson: Si una órbita está contenida en una región acotada que no contiene puntos singulares, su conjunto omega-límite es un ciclo límite[1][8].
Teorema de Dulac (1923): El número de ciclos límite es finito. Ilyashenko (1991) y Écalle dieron una prueba completa[5].
Teorema de Dumortier-Roussarie (1986): Para ecuaciones cuadráticas, el conjunto límite sólo puede ser un punto singular, un ciclo límite o una unión de puntos singulares y órbitas que los conectan[5].

Sin embargo, para grado mayor que 2 el problema sigue abierto. Determinar el número máximo y configuración de ciclos límite en función del grado es un problema difícil que continúa motivando mucha investigación[2][4].

Algunos ejemplos concretos:

La ecuación de Van der Pol $\ddot{x}+\mu(x^2-1)\dot{x}+x=0$ tiene un único ciclo límite estable para $\mu>0$ [3].
Existen ecuaciones cúbicas con 4 ciclos límite alrededor de un centro[5].

En resumen, el problema 16 de Hilbert ha estimulado grandes avances en la teoría cualitativa de EDOs, pero sigue planteando preguntas abiertas de gran interés matemático sobre la dinámica global de sistemas no lineales en el plano.

Ejemplos

\left\{ \begin{array}{ll} x' = ax + y + y^3 \\ y' = -x + ay + x^3 \end{array} \right.

Con $a = 1/4$ obtenemos el siguiente campo vectorial donde podemos observar que en el $(0,0)$ tenemos un punto crítico y al rededor suyo hay una curva límite.

Citations:

El Problema 16 de Hilbert: Órbitas Límite en Ecuaciones Diferenciales Polinómicas

El problema 16 de Hilbert sobre órbitas límite en ecuaciones diferenciales polinómicas

El problema 16 de Hilbert sobre órbitas límite en ecuaciones diferenciales polinómicas

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