Cambios de base

introducción

Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión $n$ sobre un cuerpo $K$. Una base de $V$ es un conjunto de $n$ vectores linealmente independientes que generan todo el espacio. En otras palabras, cualquier vector en $V$ se puede expresar como una combinación lineal de los vectores de la base.

Por ejemplo, en el espacio euclidiano tridimensional $\mathbb{R}^3$, una base común es el conjunto de vectores canónicos $\{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\}$.

Otro ejemplo es el conjunto de vectores $\{(1,1,0), (0,1,1), (1,0,1)\}$ que también forma una base de $\mathbb{R}^3$.

Cambios de base

Un cambio de base es el proceso de expresar un vector en términos de una nueva base. Esto es útil en muchas aplicaciones, como la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, la representación de transformaciones lineales y la optimización.

Para cambiar de base, necesitamos una matriz de cambio de base. Esta matriz se construye a partir de los vectores de la nueva base expresados en términos de la base original.

Llamemos $B = \{b_1, b_2, \ldots, b_n\}$ la base original y $B' = \{b'_1, b'_2, \ldots, b'_n\}$ la nueva base. Llamamos la matriz de cambio de base de $B$ a $B'$ como $P_{BB'}$.

Cambio de base de $B$ a $C$

Sea ahora $C$ la base canónica de $\mathbb{R}^n$ y $B$ una base de $\mathbb{R}^n$. La matriz de cambio de base de $C$ a $B$ es la matriz cuyas columnas son los vectores de la base $B$ expresados en términos de la base canónica.

Por ejemplo, si $B = \{(1, 0), (1, 1)\}$, entonces la matriz de cambio de base de $C$ a $B$ es:

ya que si el vector $v = (1, 0)_B$ en la base $B$, entonces para pasarlo a la base canónica $C$ multiplicamos por la matriz de cambio de base:

Que es justamente la representación del vector $b_1$ en la base canónica $C$.

Cambio de base de $C$ a $B$

Llamemos $e_1, e_2, \ldots, e_n$ a los vectores de la base canónica $C$. Buscamos la matriz tal que nos de el vector $e_1$ en la base $B$. Por lo tanto:

y si despejamos tenemos que:

y por lo tanto $P_{CB} = P_{BC}^{-1}$, donde $P_{BC}$ es la matriz de cambio de base de $B$ a $C$.

La matriz de cambio de base de $B$ a $C$ es por tanto la inversa de la matriz de cambio de base de $C$ a $B$.