Teorema de Hahn-Banach. Forma analítica

Este teorema hace uso del Lema de Zorn, lo que implica el uso del Axioma de elección

Teorema. 3

Sea $E$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{K}$ ( $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ ), $p: E \rightarrow \mathbb{R}$ una función sublineal. Es decir:

$p(\lambda x) = \lambda p(x)$ para todo $x \in E$
$p(x+y) \leq p(x)+p(y)$

Sea $G$ un subespacio vectorial de $E$ , y $g: G \rightarrow \mathbb{K}$ un funcional lineal que satisface:

$\forall x \in G, \quad |g(x)| \leq p(x)$

Entonces existe una extensión $f: E \rightarrow \mathbb{K}$ de $g$ a todo $E$ que satisface:

$\forall x \in E, \quad |f(x)| \leq p(x)$

Demostración

La idea de la demostración se basa en coger el conjunto

H=\{ h:D_h \subset E \rightarrow R \ | G \subset D_h \quad and \quad h(x)=g(x) \quad \forall x \in G \}

con la relación de orden

h_1 \leq h_2 \Leftrightarrow D_{h_1} \subset D_{h_2} \quad and \quad h_1(x) = h_2(x) \quad \forall x\in D_{h_1}

Corolarios

Corolario. 4

Sea G un subespacio vectorial de E y sea $g:G \rightarrow \mathbb{R}$ una aplicación continua y lineal de norma $||g||_{G'}$ . Entonces existe $f:E \rightarrow \mathbb{R}$ que extiende a $g$ tal que $||f||_{E'} = ||g||_{G'}$

La demostración basta con usar $p(x) = ||g||_{G'} ||x||$

Corolario. 5

Para todo $x_0 \in E$ existe $f_0 \in E'$ tal que

||f_0|| = ||x_0|| \quad y \quad f_0(x_0) = ||x_0||^2

Aplicacmos el corolario anterior a $G=\mathbb{R} x_0$ y $g(tx_0) = t||x_0||^2

Corolario. 6

Para todo $x \in E$ se tiene

||x|| = \sup_{f \in E' \quad ||f||\leq 1}{f(x)} = \max_{f \in E' \quad ||f||\leq 1}{f(x)}